線形代数公式メモ

誤りがないよう注意していますが、あったらごめんなさい。

※ ‘=逆行列, t=転置, ~=共役転置

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行列式

行列式の性質
|a1,…,ai+bi,…,an| = |a1,…,ai,…,an| + |a1,…,bi,…,an|
|a1,…,c*ai,…,an| = c|a1,…,ai,…,an|
ある行に他の行のk倍を加えても行列式の値は不変(列も同様)

|AB|=|A||B|
|At|=|A|

|A1 A2| = |A1||A4 – A3A1’A2|
|A3 A4|

|A B| = |A+B||A-B| (A,Bは同次数の正方行列)
|B A|

|A1 A2| = |A1||A4|
|O A4|

|A1 O | = |A1||A4|
|A3 A4|

行列各種

直交行列 A’A=AA’=I, At=A’ ||Ax||=||x||
ユニタリ行列 A~A = AA~ = I, A’=A~
エルミート行列 A~=A

(AB)~ = B~A~
tr(P’AP) = tr(A), |P’AP|=|A|

ユニタリ行列Uで任意の行列Aは、上三角行列U’AU(=U~AU)に変換される

エルミート行列はユニタリ行列で対角化可能 U~AU = diag(λi)

固有値

tr(A) = Σλi, det(A) = Πλi
|P’AP-λI|=|P'(A-λI)P|=|P’||A-λI||P|=|A-λI|

AとAtは同じ固有値を持つが、固有ベクトルは一般に異なる

エルミート行列の固有値は全て実数
(証明)(Ax,x)=(λx,x)=λ(x,x)、(x,Ax)=(x,λx)=λ~(x,x) λ=λ~となるので実数

その他

QR法
(1)エルミート行列Aを、ユニタリ行列Qと上三角行列Rの積に分解 A(t)=QR
(2)逆順にかけたもので置き換え A(t+1)=RQ
これを繰り返すと、A(t)→diag(λi)に収束

上記分解は、グラムシュミットの直交化法などを使う
A = (a1 ・・・ an), Q = (q1 ・・・ qn)とするとき
(初期設定) b1 = a1, q1 = b1/|b1|
(繰り返し) bk = ak – Σ[i=1~k-1]内積(ak,qi)qi, qk = bk/|bk|

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