フーリエ変換かんたん解説

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まずは高校レベルから。

突然ですが、xy平面上の第一象限に、ある2次元ベクトルvがあるとします。
このx成分は、vがx軸とのなす角をθとすると、|v|cosθになりますよね。
これ、正射影といいます。

で、もっと言うと、x軸の単位ベクトルをexと表すと、
x成分は内積を使ってv・exと表せます。
(|ex|=1より、v・ex=|v||ex|cosθ=|v|cosθ)

同様に、y軸の単位ベクトルをeyと表すと、y成分はv・eyと表せます。

これらを使うとベクトルvは、
 v = (v・ex)ex + (v・ey)ey
と分解できますね。

というふうに、あるベクトルは、直交ベクトルを使って分解でき、各成分は各直交ベクトルとの内積となります。

フーリエ級数も同じ。

複素フーリエ級数は、
f(t) = Σ c[n] exp(jnt)
ここで、c[n] = (1/2π) ∫[-π,π] f(t) exp(-jnt) dt

このc[n]、よく見ると関数の内積なんです。
複素関数f,gの内積<f,g>は、 <f,g> = ∫f(t) g*(t) dt (*は複素共役)
なので、c[n] = <f(t), exp(jnt)>
つまり、f(t) = Σ <f(t), exp(jnt)> exp(jnt)

直交ベクトルのときと全く同じですね。
関数バージョンです。直交関数列exp(jnt)で分解しただけ。
各成分は各直交基底exp(jnt)との内積を計算するだけ。

さらに、フーリエ変換も同じ。

フーリエ変換は、F(ω) = ∫f(t) exp(-jωt) dt = <f(t), exp(jωt)>で、
逆フーリエ変換は、f(t) = ∫F(ω) exp(jωt) dω = ∫<f(t), exp(jωt)> exp(jωt) dω
離散フーリエ変換だって同じです。

というように、フーリエ解析は、ある信号を、正弦波の和に分解するものです。各成分は内積。

そして、もっとシンプルに言えば、フーリエ解析とは、
ある信号に、何Hzと何Hzの波が、それぞれどのくらいの大きさ(振幅)で、どのくらいずれ(位相)て含まれてるか
を内積を使って計算するものです。

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